%%============================= %% Deklaration der Dokumentklasse %%============================= \documentclass[ a4paper,% %% Druck auf Papier der Groesse A4 12pt,% %% A4 braucht eine lesbare Schriftgroesse %smallheadings,% %% Die Standardgroesse ist zu mächtig %pointednumbers,% %% Ueberschriften mit 1., 1.1. etc. %bibtotoc,liststotoc,idxtotoc% %% Aufnahme der Bibliographie und %% Verzeichnisse ins Inhaltsverzeichnis ]{scrartcl} % Benutze Style Artikel % %%============================= %% Einstellungen fuer Deutsch %%============================= % % fuer Suetterlin schrift \newfont{\suet}{suet14} \usepackage{xspace,colortbl} %\usepackage[T1]{fontenc} %% Schriften mit Trennmustern \usepackage[latin1]{inputenc} %% Eingabe von Umlauten \usepackage{german} %% weitere Einstellungen %% (Anfuehrungszeichen etc) %\usepackage{color} %\usepackage[german]{varioref} %% Intelligente Querverweise % \begin{document} \title{Differentialgeometrie II} \author{Zusammenfassung von Tilmann Bitterberg} \date{HfT-Stuttgart, den \today} \maketitle %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % T O C \tableofcontents{} \newpage %\listoffigures{} %\listoftables{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % E I N F U E H R U N G \parindent0em \parskip1.5ex %Ich will suetterlin Buchstaben als Vektoren \renewcommand{\vec}[1]{\mbox{\suet #1}} %\newcommand{\vecp}[1]{\stackrel{.}{\vec{#1}}} %\newcommand{\vecpp}[1]{\stackrel{..}{\vec{#1}}} \newcommand{\vecp}[1]{\dot{\vec{#1}}} \newcommand{\vecpp}[1]{\dot{\vec{#1}}} \newcommand{\vecs}[1]{\vec{#1}\:'} \newcommand{\vecss}[1]{\vec{#1}\:''} \newcommand{\kapdach}{\hat{\kappa}} \newcommand{\taudach}{\hat{\tau}} \newcommand{\winkel}{<\!\!\!)\:} \newtheorem{satz}{Satz}[section] \setcounter{section}{14} \section{Regelfl"achen} \subsection{Darstellung von Regelfl"achen} {\bf Gegeben:} Raumkurve $c$ (Leitkurve): $\vec{y}(u) \in C_1$, zul"assig, d.h. $\vecp{y}(u) \not= \vec{0}$ f"ur alle $u$. Erzeugenden Richtung $\vec{e}(u)$ mit $\vec{e}^2(u)=1$ {\bf Regelfl"ache} \begin{math} \Phi:\; \vec{x}(u, v) = \vec{y}(u) + v\cdot\vec{e}(u) \quad\mbox{mit}\quad v \in \Re \end{math} {\bf Bemerkung:} Aus $\vec{e}^2(u)=1$ folgt $\vec{e}(u)\cdot\vecp{e}(u)=0$ f"ur alle $u$ {\bf Fl"achennormalenvektor von $\Phi$:} \begin{eqnarray*} \vec{x}_u &=& \vecp{y}(u) + v\cdot\vecp{e}(u)\\ \vec{x}_v &=& \vec{e}(u)\\ \vec{N}(u,v) &=& \frac{\vec{x}_u \times \vec{x}_v}{\left| \vec{x}_u \times \vec{x}_v \right|}= \frac{\left( \vecp{y} + v\cdot\vecp{e}\right) \times \vec{e}} {\left| \left(\vecp{y} + v\cdot\vecp{e}\right) \times \vec{e} \right|} \end{eqnarray*} {\bf Definition:} Eine Regelfl"ache mit $\vec{N}_v = \vec{0}$ hei\3t {\em Torse} \subsection{Begleitendes Dreibein einer Regelfl"ache} {\bf Definition:} Die Grenzlage von $\vec{N}$ f"uer $v\rightarrow\infty$ hei\3t $-\vec{z}$. {\bf Zentraltangente:} \[ \vec{z} = \frac{\vec{e} \;\times \vecp{e} }{|\vecp{e}|} \] {\bf Zentralnormale:} \[ \vec{n} = \frac{\vecp{e}}{|\vecp{e}|} \] {\bf Dreibeinebenen:} \begin{eqnarray*} \alpha &=& \left\{ \vec{e}, \vec{n} \right\} \perp \vec{z}, \quad\mbox{Asymptotische Ebene}\quad\alpha = \tau_\infty\\\ \zeta &=& \left\{ \vec{e}, \vec{z} \right\} \perp \vec{n}, \quad\mbox{Zentralebene}\quad\zeta = \tau_s\\ \nu &=& \left\{ \vec{n}, \vec{z} \right\} \perp \vec{e}, \quad\mbox{Normalebene, nie tangential} \end{eqnarray*} {\bf Striktionspunkt $S$:} \begin{eqnarray*} \vec{S}\;(u_0)&=& \vec{y}(u_0) + v_s\cdot\vec{e}(u_0)\quad \mbox{mit}\quad v_s = -\frac{\vecp{y}(u_0)\cdot\vecp{e}(u_0)} {\vecp{e}^2(u_0)} \end{eqnarray*} \begin{satz} Zu jeder Erzeugenden $e$ einer windschiefen Regelfl"ache geh"oren eindeutig ein orthonormiertes begleitendes Dreibein $\left\{\vec{e}, \vec{n}, \vec{z}\right\}$ und ein Striktionspunkt $S$. In $S$ ist $\vec{n} = \vec{N}$ die Fl"achennormale. \end{satz} {\bf Definition:} Die Menge aller Striktionspunkte einer windschiefen Regelfl"ache hei\3t Striktionslinie. \begin{eqnarray*} \vec{S}=\vec{S}\,(u)& = & \vec{y}(u) + v_s\cdot\vec{e}(u)\quad \mbox{mit}\quad v_s = -\frac{\vecp{y}(u)\cdot\vecp{e}(u)}{\vecp{e}^2(u)} \end{eqnarray*} \subsection{Drall einer Erzeugenden} {\bf Drall:} \begin{eqnarray*} d=d(u_o)&=& \frac{\left( \vecp{y}, \vec{e}, \vecp{e} \right)}{\vecp{e}^2} \end{eqnarray*} {\bf Winkel $\varphi = \winkel(\vec{n},\vec{N}\:)$:} \begin{eqnarray*} \tan\varphi&=& \frac{v_s-v}{d(u_0)} = \frac{1}{d(u_0)}\cdot(v_s-v)\quad \mbox{mit}\quad\vecp{e}^2=1 \end{eqnarray*} \begin{satz} Bei einer windschiefen Regelfl"ache ist der Drall d ein Ma\3 f"ur die Drehgeschwindigkeit der Tangentialebene um die Erzeugende e beim Durchlaufen von e. [Die Koppelung von $P\in e$ mit $\tau$ hei\3t {\sc Chasle}'sche Ber"uhrkorrelation] \end{satz} \subsection{Striktion einer Erzeugenden} {\bf Definition:} $\sigma = \sigma(s): \winkel(\vec{S}\:', \vec{e})$ hei\3t Striktion der Erzeugenden $e(S_o)$ \begin{eqnarray*} \vec{S}\;' &=& \vec{e}\cdot\cos\sigma + \vec{z}\cdot\sin\sigma\\ \Rightarrow \vec{S}\:(s) &=& \int\left[ \vec{e}(s)\cdot\cos\sigma(s) + \vec{z}(s)\cdot\sin\sigma(s) \right]\mbox{d}s \end{eqnarray*} \subsection{Ableitungsgleichungen} \[ \begin{array}{lcrrr} \vecs{e} & = & & \kapdach\cdot\vec{n} &\\ \vecs{n} & = & -\kapdach\cdot\vec{e}&&+\taudach\cdot\vec{z}\\ \vecs{z} & = & & -\taudach\cdot\vec{n} & \end{array} \] {\bf Berechnung von $\kapdach$ und $\taudach$:} \begin{eqnarray*} \kapdach(s) & = & \left|\vecs{e}(s)\right| = |\vecp{e}(u)|\cdot\frac{1} {|\vecp{S}\:(u)|}\qquad\mbox{Kr"ummung von }\Phi\\ \kapdach(s) & = & \left|\vecs{z}(s)\right| = |\vecp{z}(u)|\cdot\frac{1} {|\vecp{S}\:(u)|}\qquad\mbox{Torsion von }\Phi \end{eqnarray*} \begin{satz}[Hauptsatz f"ur Regelfl"achen] Zu beliebigen Funktionen $\kapdach(s)>0$, $\taudach(s)$ und $\sigma \in C_r$ gibt es bis auf starre Verschiebungen im Raum genau eine Regelfl"ache $\Phi$, die $\kapdach$ als Kr"ummung, $\taudach$ als Torsion und $\sigma$ als Striktion besitzt. $\kapdach$, $\taudach$ und $\sigma$ nennt man die nat"urlichen Gleichungen der Regelfl"ache $\Phi$. \end{satz} \begin{satz} Die Tangentenfl"ache $\Phi$ einer Raumkurve $c$ besitzt das selbe begleitende Dreibein, die selbe Kr"ummung und Torsion wie $c$. Die Striktionslinie von $\Phi$ ist die Raumkurve $c$. Sie ist eine singul"are Fl"achenkurve (Gratlinie). \end{satz} \subsection{{\sc Gauss}'sche Kr"ummung $K$ einer Regelfl"ache} \begin{satz} Eine Regelfl"ache ist genau dann eine Torse, wenn der Drall $d\equiv0$ ist, d.h. wenn $(\vecp{y}, \vec{e}, \vecp{e}) \equiv 0$ ist, wobei $\vec{e}$ hier nicht nromiert sein mu\3. \end{satz} \begin{eqnarray*} K&=& \frac{LN-M^2}{EG-F^2} = -\frac{d^2 \left( \vecp{e}^2 \right)^2}{W^4} \le 0 \end{eqnarray*} \begin{tabular}{ll} 1. Fall : & $d=0$ ($\Phi=$ Torse) $\Leftrightarrow K = 0$\\ 2. Fall : & $d\not=0$ ($\Phi=$ windschief) $\Leftrightarrow K < 0$\\ & torsale Erzeugende $d(u_0) = 0$ mit $K(u_0,v) = 0$ \end{tabular} \begin{satz} Eine Torse besitzt die {\sc Gauss}'sche Kr"ummung $K\equiv0$. Eine (relle) windschiefe Regelfl"ache besitzt nur Punkte mit $K\le0$, wobei $K=0$ nur f"ur torsale Erzeugende zutrifft. \end{satz} {\bf Andere Darstellung von $K$:} Formel von {\sc Lamarle} \begin{eqnarray*} K&=&\frac{-d^2}{\left( d^2 + v^2 \right)^2} \end{eqnarray*} \subsection{Schmieglinien und Kr"ummungslinien} \begin{satz} \begin{enumerate} \item Die Erzeugenden einer Regelfl"ache sind Schmieglinien, d.h. jede Regelfl"ache besitzt mindestens eine Schaar reeller Schmieglinien. \item Eine Torse besitzt nur ihre Erzeugenden als Schmieglinien, eine zweite Schaar fehlt. \item Eine windschiefe Regelfl"ache besitzt stets eine zweite Schaar reeller Schmieglinien, die aber im allgemeinen weder geradlinig noch eben sind. F"ur deren Windung gilt dann\[ |\tau| = \sqrt{-K}\qquad\mbox{\sc (Enneper)} \] \end{enumerate} \end{satz} \begin{satz} Die Kr"ummungslinien einer Torse sind ihre Erzeugenden und deren orthogonal Trajektorien. \end{satz} \section{Torsen} \subsection{Klassifizierung von Torsen} {\bf Torsenbedingung:} \begin{eqnarray*} \mbox{Drall} \quad d\equiv 0 &;& \left(\vecp{y}, \vec{e}, \vecp{e}\right) \equiv 0 \end{eqnarray*} {\bf Ansatz:} \begin{eqnarray*} \alpha \cdot \vecp{y} + \beta \cdot \vec{e} + \gamma \cdot \vecp{e} &= &\vec{0} \end{eqnarray*} \begin{satz} Die Torsen bestehen aus Zylindern, Kegeln und Tangentenflaechen beliebiger Raumkurven \end{satz} \subsection{H"ullgebilde einparametriger Ebenenschaaren} \begin{satz} Die nichttrivialen H"ullfl"achen 1-parametriger Ebenenschaaren sind stets Torsen, n"amlich Zylinder, Kegel oder Tangentenfl"achen.\\ Triviale H"ullgebilde sind Ebenenb"uschel und parallele Ebenen. \end{satz} \begin{eqnarray*} \mbox{Ebenenb"uschel}&& E(t) : \underbrace{\vec{a}(t)\cdot\vec{X} - \vec{b}(t)}_{f(t)} = 0\\ \mbox{Grenzgerade}&& g : f=0, \dot{f}=0\\ \mbox{Richtung} && \vec{g} = \vec{a}\; \times \vecp{a} \end{eqnarray*} {\bf Typen"ubersicht:} \begin{tabular}{rlll} 1. & $\vec{a}\; \times \vecp{a} = \vec{0}$ &&Parallelebenen\\ 2. & $\vec{a}\; \times \vecp{a} \not= \vec{0}$ &&\\ 2.1.&& $\left( \vec{a}, \vecp{a}, \vecpp{a} \right) = 0$ & \begin{math} \left\{ \begin{array}{l} \mbox{Ebenenb"uschel} \\ \mbox{Zylinder} \end{array} \right. \end{math}\\[5mm] 2.2.&& $\left( \vec{a}, \vecp{a}, \vecpp{a} \right) \not= 0$ & \begin{math} \left\{ \begin{array}{l} \mbox{Tangentenfl"ache} \\ \mbox{Kegel} \end{array} \right. \end{math}\\ \end{tabular} \subsection{Begleitende Torsen einer Raumkurve} \begin{enumerate} \item H"ullfl"ache der Schmiegebenen $\sigma$ \begin{eqnarray*} \mbox{Ebenenschaar}\quad&& \sigma(s) : \left( \vec{X} - \vec{x}(s) \right)\cdot \vec{b}(s) = 0\\ \mbox{Grenzgerade}\quad&& g : \vec{X} = \vec{x} + \alpha\cdot\vec{t}\\ \mbox{Grenzpunkt}\quad&& G : \vec{X} = \vec{y}(s) = \vec{x}(s)\qquad\mbox{Ramkurve c von }\sigma \end{eqnarray*} \begin{satz} Die Schmiegebenen einer Raumkurve $c$ (mit $\kappa\cdot\tau \not=0)$ umh"ullen die Tangentenfl"ache von $c$. Grenzgeraden sind die Tangenten von $c$, Grenzpunkte die Kurvenpunkte von $c$. \end{satz} \item H"ullgebilde der Normalebenen \begin{eqnarray*} \mbox{Ebenenschaar}\quad&& \nu : \left( \vec{X} - \vec{x} \right) \cdot \vec{t} = 0\\ \mbox{Grenzgerade}\quad&& g : \vec{X} = \vec{x}(s) + \varrho\cdot\vec{n} +\gamma\cdot\vec{b} \qquad\left( \varrho = \frac{1}{\kappa} \right)\\ &&\mbox{Kr"ummungsachse von $c$}\\ \mbox{Grenzpunkt}\quad&& G : \vec{X} = \vec{x}(s) + \varrho\cdot\vec{n} + \frac{\varrho '}{\tau} \cdot \vec{b} = \vec{m}\\ && G = M = \mbox{Mittelpunkt der Schmiegkugel.} \end{eqnarray*} \begin{satz} Die Normalebenen einer Raumkurve $c$ (mit $\kappa\cdot\tau \not=0)$ umh"ullen eine Torse, die von den Kr"ummungsachsen von $c$ erzeugt wird. Diese Torse ist die Tangentenfl"ache der Ortskurve der Schmiegkugelmittelpunkte M von $c$. \end{satz} \item H"ullgebilde der rektifizierenden Ebenen \begin{eqnarray*} \mbox{Ebenenschaar}\quad&& \varepsilon : \left( \vec{X} - \vec{x} \right) \cdot \vec{n} = 0\\ \mbox{Grenzgerade}\quad&& g : \vec{X} = \vec{x}(s) + \kappa\cdot\vec{b} + \tau\cdot\vec{t} = \vec{d}\\ &&\mbox{{\sc Darboux}--Vektor} \end{eqnarray*} Die H"ullfl"ache $\Phi$ ist genau dann ein Zylinder, wenn $\vec{g}=\vec{d}$ eine konstante Richtung hat. Daraus folgt $c$ ist B"oschungslinie \end{enumerate} \section{Minimalfl"achen} \subsection{Das {\sc Plateau}sche Problem} \begin{tabular}{lp{9cm}} Gegeben: & Raumkurve $c$, geschlossen, ohne Doppelpunkt.\\ Gesucht: & Fl"ache $\Phi$ durch $c$ ($\Rightarrow c$ ist Fl"achenkurve) so, da\3 $c$ aus $\Phi$ ein Fl"achenst"uck mit minimaler Oberfl"ache auschneidet. \end{tabular} \subsection{Variation der Oberfl"ache} {\bf Haupsatz der Variationsrechnung:} \begin{eqnarray*} \vec{B}\int\!\!\!\!\int \alpha(u,v)\cdot H(u,v) \cdot W(u,v) \cdot du\; dv =0 \end{eqnarray*} ist bei beliebigem $\alpha(u,v)$ nur dann $=0$, wenn der Integrand die Nullfunktion ist. {\bf Definition:} Alle $C_2$ Fl"achen mit $H \equiv 0$ hei\3en Minimalfl"achen. \begin{satz} Also L"osungsfl"achen des {\sc Plateau}schen Problems kommen nur Fl"achen mir $H \equiv 0$ in Frage. \end{satz} \subsection{Eigenschaften von Minimalfl"achen} \begin{satz} Eine (nicht ebene) Minimalfl"ache besitzt nur hyperbolische Punkte. \end{satz} \begin{satz} Eine Fl"ache ist genau dann eine Minimalfl"ache, wenn die Schmieglinien ein orthogonales Netz bilden. \end{satz} {\bf Bedingung f"ur $H \equiv 0$:} \begin{eqnarray*} H \equiv 0 & \Leftrightarrow & EN-GL-2FM = 0 \end{eqnarray*} \subsection{Minimaldrehfl"achen} {\bf Meridian $m$:} \begin{eqnarray*} m : u & = & \cosh \left( Cz - C^\ast \right) \cdot \frac{1}{C} \qquad\mbox{Kettenlinie} \end{eqnarray*} \begin{satz} Die einzigen reellen Minimaldrehfl"ache sind die Kathenoide (gedrehte Kettenlinien) und triviale Ebenen. \end{satz} \subsection{Minimalregelfl"achen} \begin{satz}[{\sc Catalan}] Die einzigen reellen Minimalregelfl"achen sind die Wendelfl"achen und triviale Ebenen. \end{satz} \section{Ableitungsgleichungen der Fl"achentheorie} \subsection{Ableitungsgleichungen von {\sc Weingarten} und {\sc Rodrigues}} {\sc Weingarten:} \begin{eqnarray*} \vec{N}_u &=& \frac{FM-GL}{EG-F^2}\cdot\vec{x}_u + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\cdot\vec{x}_v\\[3mm] \vec{N}_v &=& \frac{FN-EM}{EG-F^2}\cdot\vec{x}_u + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\cdot\vec{x}_v \end{eqnarray*} {\bf Spezielles Parameternetz:} $F=0$ und $M=0$, d.h $u$ und $v$ sind Kr"ummungsparameter. {\sc Rodrigues:} \begin{eqnarray*} \vec{N}_u &=& -\frac{1}{R_1}\cdot\vec{x}_u\\ \vec{N}_v &=& -\frac{1}{R_2}\cdot\vec{x}_v \end{eqnarray*} \subsection{Fl"achen mit lauter Flachpunkten} {\bf Flachpunkt:} \[ L=M=N=0 \] \begin{satz} Die einzigen Fl"achen mit lauter Flachpunkten sind die Ebenen. \end{satz} \subsection{Fl"achen mit lauter parabolischen Punkten} {\bf Parabolischer Punkt:} \[ K=\frac{1}{R_1}\cdot\frac{1}{R_2}=0 \] \begin{satz} Die einzigen Fl"achen mit lauter parabolischen Punkten sind die Torsen: Zylinder, Kegel und Tangentenfl"achen. \end{satz} \subsection{Fl"achen mit lauter Nabelpunkten} {\bf Nabelpunkt:} \[ \frac{1}{R_1}=\frac{1}{R_2}\quad \mbox{bzw.}\quad E:F:G = L:M:N\] \begin{satz} Die einzigen Fl"achen mit lauter Nabelpunkten sind die Kugeln. \end{satz} \subsection{Indexschreibweise, {\sc Christoffel}--Symbole} {\bf Umbennung} aller bisherigen Gr"o\3en.\\ \begin{tabular}{|l|l|} \hline Alt & Neu\\\hline\hline Parameter $u$, $v$ & $u_1$, $u_2$\\ $\vec{x}_u$, $\vec{x}_v$ & $\vec{x}_{1}$, $\vec{x}_{2}$\\\hline $E = \vec{x}_u^2$ & $g_{11} = \vec{x}_{1}\cdot\vec{x}_{1}$\\ $F = \vec{x}_u\cdot \vec{x}_v$ & $g_{12} = g_{21} = \vec{x}_{1}\cdot\vec{x}_{2} = \vec{x}_{2}\cdot\vec{x}_{1}$\\ $G = \vec{x}_u^2$ & $g_{22} = \vec{x}_{2}\cdot\vec{x}_{2}$\\ $E$, $F$, $G$ & $g_{ik} = \vec{x}_{i}\cdot\vec{x}_{k}$\\ $W^2 = EG-F^2$ & $g = g_{11}\cdot g_{22} - g_{21}\cdot g_{12}$\\\hline $L = \frac{1}{W}\left( \vec{x}_u, \vec{x}_v, \vec{x}_{uu} \right) = -\vec{N}_u\vec{x}_u$ & $h_{11}$\\[1mm] $M = \frac{1}{W}\left( \vec{x}_u, \vec{x}_v, \vec{x}_{uv} \right) = -\vec{N}_u\vec{x}_v$& $h_{12} = h_{21}$\\ $N = \frac{1}{W}\left( \vec{x}_u, \vec{x}_v, \vec{x}_{vv} \right) = -\vec{N}_v\vec{x}_v$& $h_{22}$\\[1mm]\hline \end{tabular} {\bf {\sc Christoffel}--Symbol 1. Art} \begin{eqnarray*} &&\vec{x}_{ik}\vec{x}_m=\Gamma_{ik|m}\equiv\left[{ik \atop m }\right]\\ &&\mbox{(Es ist}\; \Gamma_{ik|m}=\Gamma_{ki|m} \mbox{, da}\; \vec{x}_{ik}=\vec{x}_{ki}\; \mbox{ist)} \end{eqnarray*} {\bf {\sc Christoffel}--Symbol 2. Art} \begin{eqnarray*} \Gamma_{ik}^{l} &= &\sum_{m=1}^{2} \Gamma_{ik|m}\cdot g^{ml} \equiv \left\{ {l \atop ik}\right\} \end{eqnarray*} {\bf Ableitungsgleichungen von {\sc Gauss}} \begin{eqnarray*} \vec{x}_{ik}&=&\sum_{\varrho=1}^{2}\Gamma_{ik}^{\varrho} \vec{x}_{\varrho}+h_{ik}\cdot\vec{N}\\ \mbox{wobei}\quad\Gamma_{ik}^{\varrho}&=& \sum_{m=1}^2 \Gamma_{ik|m}\; g^{m \varrho}\quad\mbox{mit}\\ \Gamma_{ik|m}& = &\frac{1}{2}\cdot\left( \frac{\partial g_{km}}{\partial u_{i}}+ \frac{\partial g_{im}}{\partial u_{k}}- \frac{\partial g_{ik}}{\partial u_{m}}\right) \end{eqnarray*} {\bf Ausgerechnet:} {\sc Christoffel}--Symbol 1.Art \begin{eqnarray*} \Gamma_{11|1}=\frac{1}{2}E_u\mbox{; }& \Gamma_{11|2}=F_u-\frac{1}{2}E_v\mbox{; }& \Gamma_{12|1}=\frac{1}{2}E_v\\ \Gamma_{12|2}=\frac{1}{2}G_u\mbox{; }& \Gamma_{22|1}=F_v-\frac{1}{2}G_u\mbox{; }& \Gamma_{22|2}=\frac{1}{2}G_v \end{eqnarray*} {\bf Ausgerechnet:} {\sc Christoffel}--Symbol 2.Art \[\begin{array}{rclrcl} \Gamma_{11}^1& = &\displaystyle\frac {GE_u-2FF_u+FE_v} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)} & \Gamma_{11}^2& = &\displaystyle\frac {-FE_u+2EF_u-EE_v} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)}\\[5mm] \Gamma_{12}^1& =& \displaystyle\frac {GE_v-FG_u} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)} & \Gamma_{12}^2& =& \displaystyle\frac {EG_u-FE_v} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)}\\[5mm] \Gamma_{22}^1& =& \displaystyle\frac {-FG_v+2GF_v-GG_u} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)} & \Gamma_{22}^2& =& \displaystyle\frac {EG_v-2FF_v+FG_u} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)} \end{array}\] {\bf Ausgerechnet:} Ableitungsgleichungen von {\sc Gauss} \[\begin{array}{rclcll} \displaystyle\vec{x}_{uu}& =& \displaystyle\frac {GE_u-2FF_u+FE_v} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)} \cdot\vec{x}_{u} &+& \displaystyle\frac {-FE_u+2EF_u-EE_v} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)} \cdot\vec{x}_{v}&+L\cdot\vec{N} \\[5mm] \displaystyle\vec{x}_{uv}& =& \displaystyle\frac {GE_v-FG_u} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)} \cdot\vec{x}_{u}&+& \displaystyle\frac {EG_u-FE_v} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)} \cdot\vec{x}_{v}&+M\cdot\vec{N} \\[5mm] \displaystyle\vec{x}_{vv}& = &\displaystyle\frac {-FG_v+2GF_v-GG_u} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)} \cdot\vec{x}_{u}&+& \displaystyle\frac {EG_v-2FF_v+FG_u} %------------------------------- {2\left(EG-F^2\right)} \cdot\vec{x}_{v}&+N\cdot\vec{N} \end{array} \] {\bf Ausgerechnet:} Ableitungsgleichungen von {\sc Weingarten} \[ \begin{array}{rclrcl} \vec{N}_u &=& \displaystyle\frac {-GL+FM} {EG-F^2} \cdot \vec{x}_u& +& \displaystyle\frac {FL-EM} {EG-F^2} \cdot \vec{x}_v\\[5mm] \vec{N}_v &=& \displaystyle\frac {FN-GM} {EG-F^2} \cdot \vec{x}_u& +& \displaystyle\frac {FM-EN} {EG-F^2} \cdot \vec{x}_v \end{array} \] \section{Orthogonalfl"achen} \subsection{Sph"arische Abbildung, 3. Grundform} {\bf Definition:} $\Phi$: Sph"arische Abbildung $\Phi \rightarrow \Phi^\ast$ mit Ortsvektor $\vec{N}=\vec{N}(u,v) = \stackrel{\longrightarrow}{OP^\ast}$ {\bf Definition:} Die 3. Grundform der Fl"achentheorie ist das Bogenelementquadrat des sph"arischen Bildes \begin{eqnarray*} \mbox{(III)}\equiv ds^{\ast^2} &=& e\cdot du^2 + 2f\cdot du\;dv + g\cdot dv^2\qquad\mbox{mit}\\ e &=& \vec{N}_u^2\\ f &=& \vec{N}_u\cdot \vec{N}_v\\ g &=& \vec{N}_v^2\\ \end{eqnarray*} {\bf Bei Kr"ummungsparametern:} ($F=M=0$) \[ \begin{array}{rclclcl} e &=& \vec{N}_u^2 & = & \displaystyle\frac{L^2}{E^2}\cdot\vec{x}_u^2 & = & \displaystyle\frac{L^2}{E}\\[3mm] f &=& \vec{N}_u\cdot \vec{N}_v &=& \displaystyle\frac{LN}{EG}\cdot\vec{x}_u\vec{x}_v & = & \displaystyle 0 \\[3mm] g &=& \vec{N}_v^2 & = & \displaystyle\frac{N^2}{G^2}\cdot\vec{x}_v^2 & = & \displaystyle\frac{N^2}{G} \end{array} \] {\bf Es gilt also:} (nicht nur in Kr"ummungsparametern) \begin{eqnarray*} \mbox{(III)}&=& -K\cdot\mbox{(I)} + 2H\cdot\mbox{(II)}\qquad\mbox{bzw.}\\ K\cdot\mbox{(I)} + \mbox{(III)}&=&2H\cdot\mbox{(II)} \end{eqnarray*} \subsection{Normalenkongruenz} {\bf Definition:} Die Menge aller Normalen von $\Phi$ hei\3t Normalenkongruenz. \begin{displaymath} \Psi: \vec{X}(t,w) = \vec{x}(t) + w\cdot\vec{N}(t)\qquad w\in\Re,\; \vec{N}^2 = 1 \end{displaymath} {\bf $\Psi = $Torse?} Genau dann, wenn $\left( \frac{1}{R_1}- \frac{1}{R_2}\right)\cdot\dot{u}\dot{v} = 0$ \begin{enumerate} \item $\displaystyle\frac{1}{R_1}- \frac{1}{R_2}=0 \to \frac{1}{R_1}= \frac{1}{R_2}$\\[1mm] $\Phi$ hat lauter Nabelpunkte, $\to \Phi$ ist eine Kugel. Alle Normalen l"angs $c$ treffen sich im Kugelmittelpunkt. \\$\Rightarrow \Psi$ ist stets ein Kegel (Spitze $M$) oder eine Ebene. \item Keine Nabelpunkte\\ \begin{tabular}{llcll} Aus Gleichung folgt & $\dot{u}=0$ &$\to$& $u=u_0$ & ($v$-Linie)\\ & $\dot{v}=0$ & $\to$ & $v=v_0$ & ($u$-Linie) \end{tabular}\\ $\Rightarrow c$ ist Kr"ummungslinie von $\Psi$. \end{enumerate} \begin{satz} Die Normalen einer Fl"ache $\Phi$, die weder Torse noch Kugel ist, bilden genau dann eine Torse $\Psi$, wenn die Fl"achenkurve $c$ eine Kr"ummungslinie von $\Phi$ ist.\\Bei einer Kugel $\Phi$ liefern alle Fl"achenkurven mit ihren Normalen einen Kegel $\Psi$ mit Spitze im Kugelmittelpunkt. \end{satz} \subsection{Dreifaches Orthogonalsystem} {\bf Verallgemeinerung auf Fl"achen:} 3 Schaaren von Fl"achen, je 2 Fl"achen schneiden sich orthogonal. Durch jeden Raumpunkt P geht genau eine Fl"ache jeder Schar. Ein dreifaches Orthogonalsystem entspricht krummlinigen Koordinaten im Raum. \begin{satz}[Satz von {\sc Darboux}] Jedes $C_2$ Fl"achenst"uck, das keine Torse ist, kann in ein dreifaches Orthogonalsystem eingebettet werden. \end{satz} \begin{satz}[Satz von {\sc Dupin}] Je 2 Fl"achen aus verschiedenen Schaaren eines dreifachen Orthogonalsystems schneiden einander in ihren Kr"ummungslinien. \end{satz} \subsection{Zentrafl"achen} $\Phi$ mit Kr"ummungsparametern $u,v$ l"angs der Kr"ummungslinien von den Fl"achennormalen $\vec{N}$ wird eine Torse $\Psi$ gebildet. \begin{eqnarray*} \Psi:\quad \vec{X} &=& \vec{x}(u,v) + w\cdot\vec{N}(u,v)\qquad w\in\Re \end{eqnarray*} {\bf Definition:}\\ Die Menge aller Gratlinien aus den $u$-Linien von $\Phi$ hei\3t 1. Zentrafl"ache $\Gamma_1$ von $\Phi$.\\ Die Menge aller Gratlinien aus den $v$-Linien von $\Phi$ hei\3t 2. Zentrafl"ache $\Gamma_2$ von $\Phi$. \begin{eqnarray*} \Gamma_1: \quad\vec{z}_1(u,v) & =& \vec{x}(u,v) + R_1(u,v) \cdot \vec{N}(u,v)\\ \Gamma_2: \quad\vec{z}_2(u,v) & =& \vec{x}(u,v) + R_2(u,v) \cdot \vec{N}(u,v) \end{eqnarray*} \begin{satz} Die Normalen einer Fl"ache $\Phi$ ber"uhren die beiden Zentrafl"achen $\Gamma_1$ und $\Gamma_2$ von $\Phi$. \end{satz} \begin{satz} Alle Punkte der Parallelfl"achen einer Fl"ache $\Phi$, die auf den Zentrafl"achen $\Gamma_1$ oder $\Gamma_2$ von $\Phi$ liegen, sind singul"ar $\Rightarrow$ Jedes dreifaches Orthogonalsystem (bis auf das karthesische) besitzt Singularit"aten. \end{satz} {\bf Sonderf"alle der Zentrafl"achen} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})} \item Torse $\Psi$ der Kr"ummungslinien $v=v_0$ ist ein Zylinder $\Rightarrow$ Normalen $\vec{N}$ besitzen kein H"ullgebilde, $\Gamma_1$ tritt nicht auf. Analog f"ur die $v$-Linien. \item Torse $\Psi$ der Kr"ummungslinien $v=v_0$ ist ein Kegel mit Spitze $S$ $\Rightarrow$ Alle Normalen $\vec{N}$ der $u$-Linie treffen sich in $S$. $\Gamma_1$ ist dann die Ortskurve der Kegelspitzen $S$, die sogenannte {\em Brennlinie}. Analog f"ur die $v$-Linien. \end{enumerate} {\bf Definition:} Eine Fl"ache $\Phi$, bei der (mindestens) eine Zentrafl"ache in eine Brennlinie entartet, hei\3t {\em Kanalfl"ache}. {\bf Bemerkung:} Jede Kanalfl"ache ist H"ullfl"ache von Kugeln mit variablen Radius, deren Mittelpunkte auf einer Raumkurve liegen. Bei konstantem Radius entstehen Rohrfl"achen, z.B. Torus, Drehzylinder. \section{Parametertransformationen} \subsection{Allgemeines, Zul"assigkeit} {\bf Parametertrafo:} \[ \left\{ \begin{array}{rclcl} u &=& u\left( \bar{u}, \bar{v}\right) &\in& C_1\\ v &=& v\left( \bar{u}, \bar{v}\right) &\in& C_1 \end{array} \right. \] \begin{satz} Eine Parametertransformationen ist genau dann zul"assig, wenn die {\sc Jacobi}--Determinante \[ J = \left| \begin{array}{cc} u_{\bar{u}} & u_{\bar{v}} \\ v_{\bar{u}} & v_{\bar{v}} \end{array} \right| \not= 0 \] ist f"ur alle $u,v$. \end{satz} \begin{satz} Die Koeffizienten der 1. Grundform sind nicht parameterinvariant; die 1. Grundform und damit die gebildete Metrik ist aber parameterinvariant. Analoges gilt f"ur (II) und (III). \end{satz} \subsection{Parametertrafos mittels quadratischer Differentialformen} \begin{satz} In einem hinreichend kleinen Gebiet gibt es stets eine Parametertrafo, so da\3 ein vorgegebenes Netz als Parameternetz verwendet werden kann. Jede quadratische Differentialform mit verschiedenen (reellen) Nullrichtungen bestimmt ein Parameternetz, bei dem alle Parameterlinien in den Nullrichtungen verlaufen. \end{satz} \subsection{Spezielle Parameternetze} \begin{enumerate} \item {\bf Schmiegparameter}\\ Differentialform = (II) $= L\:du^2 +2M\:du\,dv + N\:dv^2 = 0$. Zwei reelle Nullrichtungen, wenn $LN-M^2 < 0$, d.h. wenn $K < 0$ ist. \begin{satz} Auf jedem Fl"achenst"uck, das nur hyperbolische Punkte tr"agt, k"onnen Schmiegparameter eingef"uhrt werdem. Ihr Kennzeichen ist $L=N=0$, $M\not=0$. \end{satz} \item {\bf Kr"ummungsparameter}\\ Die Haupt Kr"ummungs Richtungen sind festgelegt durch die folgende Determinante \[ \left| \begin{array}{ccc} dv^2 & -du\,dv & dv^2\\ E & F & G \\ L & M & N \end{array} \right| = 0 \] $(du:dv)_{1/2}$ sind stets reell und verschieden, sofern $P$ weder ein Nabel-- noch Flachpunkt ist. Sie sind zueinander orthogonal. \begin{satz} Auf jedem Nabel und Flachpunkt freien Fl"achenst"uck k"onnen Kr"um-mungsparameter eingef"uhrt werden. Ihr Kennzeichen ist $F=M=0$. \end{satz} \item {\bf Isotrope Parameter}\\ Differentialform = (I) $= E\:du^2 +2F\:du\,dv + G\:dv^2 = 0$. Da (I) positiv definit ist, nur im Komplexen m"oglich. \[ \left( \frac{du}{dv}\right)_{1/2} = \frac{-F\pm \sqrt{-W^2}}{E} \qquad\mbox{mit}\qquad W^2>0 \] \begin{satz} Auf jedem $C_2$ Fl"achenst"uck k"onnen Isotrope Parameter eingef"uhrt werden. Sie sind stets komplex und bilden ein konjugiert komplexes Parameternetz auf $\Phi$. Je zwei Parameterlinien aus verschiedenen Schaaren schneiden sich in einem reellen Punkt $P$. \end{satz} \end{enumerate} \section{Abbildung zwischen Fl"achen} \subsection{Darstellung von Fl"achen} {\bf Abbildungsvorschrift:} (gegeben) \[ P \in \Phi \quad\stackrel{\alpha}{\longmapsto}\quad P^\ast \in \Phi^\ast \] \begin{satz} Jede injektive und differenzierbare Abbildung $\alpha$ zwischen zwei Fl"achenst"ucken kann so dargestellt werden, da\3 sich Punkte mit gleichen Parameterwerten entsprechen. \[ \alpha : \vec{x}(u,v)\quad \longmapsto \quad \vec{x}^\ast(u,v) \] \end{satz} \subsection{Isometrie} \begin{satz} Die Abbildung $\alpha : \Phi \longmapsto \Phi^\ast$ ist genau dann \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})} \item {\bf l"angentreu}, wenn $E=E^\ast$, $F=F^\ast$, $G=G^\ast$ f"ur alle $u, v$ \item {\bf winkeltreu}, wenn $E^\ast=\lambda\cdot E$, $F^\ast=\lambda\cdot F$, $G^\ast=\lambda\cdot G$ mit $\lambda=\lambda(u,v)$ f"ur alle $u,v$ \item {\bf fl"achentreu}, wenn $W=W^\ast$ f"ur alle $u,v$ \end{enumerate} \end{satz} \begin{satz} Jede l"angentreue Abbildung ist eine Isometrie. Jede winkel-- und fl"achentreue Abbildung ist eine Isometrie. \end{satz} \begin{satz} \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item Notwendig aber nicht hinreichend f"ur eine Isometrie $\alpha : \Phi \longmapsto \Phi^\ast$ ist die Gleichheit der {\sc Gauss}schen Kr"ummung beider Fl"achen, $k^\ast = K$ f"ur alle $u,v$. \item Eine Kugel kann nicht isometrisch auf eine Ebene abgebildet werden. \item Es kibt keine Landkarte, die die Erde isometrisch abbildet, auch nicht von Teilen ({\sc Euler}). \end{enumerate} \end{satz} \begin{satz} Die Torsen (Zylinder, Kegel, Tangentenfl"ache) sind die einzigen Fl"achen $\Phi$, die man isometrisch auf die Ebene $\Phi^\ast$ abbilden kann (Abwicklung). Bei einer Abwicklung einer Tangentenfl"ache wird die Leitkurve $c \in \Phi$ (Gratlinie) kr"ummungstreu abgebildet auf $ c^\ast \in \Phi^\ast$. Die Metrik auf einer Torse ist (st"uckweise) euklidisch. \end{satz} \subsection{Verzerrungen, {\sc Tissot}sche Indikatrix} {\bf Definition:} \[ \frac{ds^\ast}{ds} = \sqrt{\Lambda} \] hei\3t L"angenverzerrung von $\alpha$ im Linienelement P. Es ist \begin{eqnarray*} \mbox{Es ist}\quad\Lambda&=& \frac{ds^{\ast2}}{ds^2} = \frac{\mbox{(I$^\ast$)}}{\mbox{(I)}} = \frac{L^\ast\:du^2 +2M^\ast\:du\,dv + N^\ast\:dv^2} {L\:du^2 +2M\:du\,dv + N\:dv^2} > 0\qquad\mbox{($\ast$)} \end{eqnarray*} \begin{satz} Bei einer konformen (winkeltreuen) Abbildung ist die L"angenverzerrung richtungsunabh"angig. \end{satz} Analoge Aussagen wie bei der Kr"ummungstheorie \begin{enumerate} \item ($\ast$) besitzt zwei Extremwerte, die {\em Hauptverzerrungen} \item Die zugeh"origen Richtungen sind stets reell und zueinander orthogonal. \item Produkt und arithmetisches Mittel der HVR $\frac{1}{\Lambda_1}$ und $\frac{1}{\Lambda_2}$ liefern \[ \begin{array}{rcccll} \Omega^2 & = & \displaystyle\frac{1}{\Lambda_1}\cdot \frac{1}{\Lambda_2} &=& \displaystyle\frac{EG-F^2}{E^\ast G^\ast -F^{\ast2}} &\mbox{Fl"achenverzerrung}\\[3mm] \Sigma & = & \displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left( \frac{1}{\Lambda_1} + \frac{1}{\Lambda_2}\right) &=& \displaystyle\frac{1}{2}\cdot \frac{EE^\ast -2FF^{\ast2} +GG^\ast }{E^\ast G^\ast -F^{\ast2}}& \mbox{Mittlere Verzerrung} \end{array} \] Berechnung der Hauptverzerrungsrichtungen \[ \left| \begin{array}{ccc} dv^2 & -du\,dv & dv^2\\ E & F & G \\ E^\ast& F^\ast & G^\ast \end{array} \right| = 0 \] \end{enumerate} \begin{satz} Bei jeder nicht konformen Abbildung zwischen zwei Fl"achenexistieren in jedem Punkt zwei zueinander senkrechte HVR. Bei Verwendung dieser Richtungen als Parameter Richtungen gilt dann:\\ Bei jeder Abbildung zwischen zwei Fl"achen gibt es ein {\bf orthogonales} Netz, das auf ein {\bf orthogonales} Netz abgebilded wird. \end{satz} \begin{satz} Eine Abbildung ist genau dann konform, wenn gilt $\Sigma^2 = \Lambda^2$. \end{satz} {\bf Formel von {\sc Tissot}}: \[ \frac{1}{\Lambda} = \frac{\cos^2\gamma}{\Lambda_1} + \frac{\sin^2\gamma}{\Lambda_2} \] {\bf {\sc Tissot}sche Indikatrix}: \[ \frac{ds^{\ast2}}{ds^2}\cdot\frac{\cos^2\gamma}{\Lambda_1} + \frac{ds^{\ast2}}{ds^2}\cdot\frac{\sin^2\gamma}{\Lambda_2} = 1 \] Die {\sc Tissot}sche Indikatrix ist stets eine Ellipse, bei einer konformen Abbildung ist sie ein Kreis. \subsection{Abbildung der Kugel auf eine Ebene} \begin{satz} Es gibt keine l"angentreuen Landkarten. Eine Landkarte ist entweder fl"achen-- oder winkeltreu oder keines von beiden. \end{satz} \section{Innere Geometrie auf Fl"achen} \subsection{Der intelligente Fl"achler} {\bf Definition}: Ein Begriff geh"ort zur inneren Geometrie von $\Phi$, wenn er mit den Koeffizienten (und deren Ableitungen) der 1. Grundform darstellbar ist. \begin{satz} Satz "uber innere Geometrie \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item Die gesammte Metrik einer Fl"ache geh"ort zur inneren Geometrie (L"ange, Winkel, Oberfl"ache) \item Ein Begriff geh"ort genau dann zur inneren Geometrie, wenn er gegen"uber isometrischen Abbildungen invariant ist. \item Die {\sc Gauss}sche Kr"ummung $K$ geh"ort auch zur inneren Geometrie, nicht aber die mittlere Kr"ummung $H$ oder $\frac{1}{R_1}$ und $\frac{1}{R_2}$ \end{enumerate} \end{satz} \subsection{Geod"atische Kr"ummung einer Fl"achenkurve} {\bf Definition}: Der Grenzwert \begin{eqnarray*} \kappa_g & = & \lim_{\varepsilon\to 0} \frac{\mbox{d}\bar{s}-\mbox{d}s}{\varepsilon} \cdot \frac{1}{\mbox{d}s} \end{eqnarray*} hei\3t geod"atische Kr"ummung der Kurve $c$. {\bf Berechnung mit "au\3erer Geometrie}: \begin{eqnarray*} \kappa_g & = & \left( \vec{t}, \vecs{t}, \vec{N}\: \right) = \left( \vecs{x}, \vecss{x}, \vec{N}\: \right) = \frac{ \left( \vecp{x}, \vecpp{x}, \vec{N} \:\right)}{\left| \vecp{x} \right|^3} \end{eqnarray*} {\bf Folgerungen}: Es besteht folgender Zusammenhang mit der Kr"ummung $\kappa$ und der Normalkr"ummung $\kappa_n$. \begin{eqnarray*} \kappa_g^2 + \kappa_n^2 &=& \kappa^2 \end{eqnarray*} \begin{satz} Satz der Kr"ummungen \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item Die Normalkr"ummung $\kappa_n$ einer Fl"achenkurve $c$ stimmt "uberein mit der Kr"ummung der Normalprojektion von $c$ auf die Normalebene $\nu = \left\{ \vec{N}, \vec{t} \right\}$. \item Die geod"atische Kr"ummung $\kappa_n$ stimmt "uberein mit der Projektion von $c$ auf die Tangentialebene. \end{enumerate} \end{satz} \begin{satz} F"ur die Parameterlinien eines orthogonalen Parameternetzes gilt: \begin{eqnarray*} \kappa_g &=& -\frac{E_v}{2E\sqrt{G}}\qquad\mbox{f"ur eine $u$-Linie}\\ \kappa_g &=& \frac{G_u}{2G\sqrt{E}}\qquad\mbox{f"ur eine $v$-Linie} \end{eqnarray*} \end{satz} {\bf Darstellung von $\kappa_g$ mittels {\sc Christoffel}}: \begin{eqnarray*} \kappa_g &=& \frac{\sqrt{EG-F^2}} {\sqrt{E\dot{u}^2 + 2 F\dot{u}\dot{v} + G\dot{v}^2}^3} \cdot \left[ \dot{u}_1\ddot{u}_2 - \dot{u}_2\ddot{u}_1 + \sum_{i}\sum_{k} \left( \Gamma_{ik}^2 \dot{u}_1 - \Gamma_{ik}^1 \dot{u}_2 \right)\dot{u}_i\dot{u}_k \right] \end{eqnarray*} \begin{satz} Ber"uhren sich zwei Fl"achen l"angs einer Kurve c, so hat c auf beiden Fl"achen die selbe geod"atische Kr"ummung $\kappa_g$. \end{satz} \subsection{Geod"atische Linien} {\bf Gesucht}: Fl"achenkurve $c$ von $A$ nach $B \in \Phi$ mit $\stackrel{\frown}{AB}$ minimal. Sei $\vec{x}(s_0) = \vec{x}_A$ und $\vec{x}(s_1) = \vec{x}_B$. Daraus folgt mit {\sc Frenet} \begin{eqnarray*} \int\limits_{s_0}^{s_1}\kappa(s)\cdot\vec{n}(s) \left. \frac{\mbox{d}\vec{x}}{\mbox{d}\varepsilon} \;\right/_{\varepsilon=0} \cdot\mbox{d}s = 0 \end{eqnarray*} \begin{satz} Satz der Geod"atischen \begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})} \item Jede Gerade ist Geod"atische von $\Phi$. \item Krummlinige Fl"achenkurven deren Schmiegebenen $\sigma$ in jedem Punkt die entsprechende Fl"achennormale $\vec{N}$ enthalten sind Geod"atische. \end{enumerate} \end{satz} \begin{satz} Die geod"atischen Linien sind Kurven mit $\kappa_g = 0$. Die Differentialgleichung f"ur eine geod"atische Linie ist deshalb \begin{eqnarray*} \left( \vecp{x}, \vecpp{x}, \vec{N} \right) &=& 0 \end{eqnarray*} Die L"osungen sidn durch Anfangs- und Endpunkt oder durch ein Linienelement (Anfangspunkt + Richtung) festgelegt. \end{satz} \begin{satz} Die einzigen Geod"atischen in der Ebene sind die Geraden. \end{satz} \begin{satz} Die einzigen Geod"atischen auf der Kugel sind ihre Gro\3kreise, d.h. $\sigma$ durch Kugelmittelpunkt. \end{satz} \begin{satz} Alle Meridiane einer Drehfl"ache und spezielle Breitenkreise sind geod"atische Linien, alle anderen Geod"atischen sind "uber die DGL von vorher zu bekommen. \end{satz} \section{Anhang} \newcommand{\VEC}[3]{ \left( \begin{array}{c} #1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right) } \subsection{Kugel} \[ \begin{array}{rcl@{\qquad}rcl} \vec{x}(u,v) &=& \VEC {r\cdot\cos u\cos v} {r\cdot\cos u\sin v} {r\cdot\sin u} \\[7mm] \vec{x}_u &=& \VEC {-r\cdot\sin u\cos v} {-r\cdot\sin u\sin v} {r\cdot\cos u} & \vec{x}_v &=& \VEC {-r\cdot\cos u\sin v} {r\cdot\cos u\cos v} {0} \\[7mm] \vec{x}_{uu} &=& \VEC {-r\cdot\cos u\cos v} {-r\cdot\cos u\sin v} {-r\cdot\sin u} = -\vec{x} & \vec{x}_{uv} &=& \VEC {r\cdot\sin u\sin v} {-r\cdot\sin u\cos v} {0} = \vec{x}_{vu} \\[7mm] \vec{x}_{vv} &=& \VEC {-r\cdot\cos u\cos v} {-r\cdot\cos u\sin v} {0} & \vec{x}_{u}\times\vec{x}_v &=& -r\cdot \cos u\cdot\vec{x}\\[7mm] \end{array} \] \[ \begin{array}{llll} E = r^2 & F = 0 & G = r^2\cdot \cos^2 u & W^2=r^4\cdot\cos^2 u\\ L = r & M = 0 & N = r\cdot\cos^2 u \end{array} \] \subsection{Nordpol, S"udpol und "Aquator der Kugel} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline Element & u & v \\\hline\hline Nordpol & $\frac{\pi}{2}$ & beliebig\\[1mm]\hline S"udpol & $-\frac{\pi}{2}$ & beliebig\\[1mm]\hline "Aquator & $0$ & beliebig\\[1mm]\hline Breitenkreis & $u_0$ & beliebig \\[1mm]\hline Nullmeridian & $-\frac{\pi}{2} \le u \le \frac{\pi}{2}$ & 0 \\[1mm]\hline Meridian & $-\frac{\pi}{2} \le u \le \frac{\pi}{2}$ & $v_0$\\[1mm]\hline \end{tabular} \subsection{\index{Schraubfl"ache}Schraubfl"ache} \[ \begin{array}{rcl@{\qquad}rcl} \vec{x}(u,v) &=& \VEC {v\cdot \cos u}{v\cdot \sin u}{p\cdot u} \\[7mm] \vec{x}_u &=& \VEC{-v\cdot \sin u}{v\cdot \cos u}{p} & \vec{x}_v &=& \VEC{\cos u}{\sin u}{0}\\[7mm] \vec{x}_{uu} &=& \VEC {-v\cdot \cos u}{-v\cdot \sin u}{0} & \vec{x}_{uv} &=& \VEC {-\sin u}{\cos u}{0} = \vec{x}_{vu}\\ \end{array} \] \[ \begin{array}{llll} E = v^2 + p^2 & F=0 & G=1 & W^2 = v^2 + p^2\\ L = 0 & W\cdot M = p & N = 0\\ K = \frac{-p^2}{\left( v^2+p^2\right)^2} & H = 0 &\mbox{Minimalfl"ache} \end{array} \] \end{document}